Question

下列四个命题中，真命题的个数为（　　）
①若函数f（x）=sinx-cosx+1，则y=|f（x）|的周期为2π；
②若函数f（x）=cos⁴x-sin⁴x，则f′(

π

12

)=-1；
③若角α的终边上一点P的坐标为(sin

5π

6

，cos

5π

6

)，则角α的最小正值为

5π

3

；
④函数y=2cos2x的图象可由函数y=cos2x+

3

sin2x的图象向左平移

π

6

个单位得到．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：①先对函数进行整理得到正弦型函数f（x），而正弦型函数|f（x）|的周期是f（x）的周期的

1

2

；
②先求三角函数的导函数，再将

π

12

代入导函数即可；
③先要求出P点坐标（

1

2

，-

3

2

），故角的终边与X轴正半轴夹角为

π

3

，则角α的最小正值为

5π

3

；
④在作图变换象的题目时，注意由f（x）得到f(x+

π

6

)的图象是向左平移

π

6

个单位得到，而若由f（2x）得到的f(2x+

π

6

)图象是向左平移

π

12

个单位得到．

解答：解：①由于f（x）=sinx-cosx+1=sin（x-

π

4

）+1的周期为2π，
y=|f（x）|的周期是y=f（x）的周期的

1

2

，
∴y=|f（x）|的周期是π．故①为假命题．
②∵f（x）=cos⁴x-sin⁴x的导数为
f′（x）=4cos³x•（-sinx）-4sin³x•cosx=-4cosxsinx
∴f′（x）=-2sin2x，f′（

π

12

）=-2×

1

2

=-1．故②为真命题．
③由于角α的终边上一点P的坐标为(sin

5π

6

，cos

5π

6

)，则P（

1

2

，-

3

2

）
∴则角α的最小正值为

5π

3

，故③也为真命题．
④由函数y=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)=2cos(2x-

π

3

)=2cos(2(x-

π

6

))．
函数y=2cos2x的图象向右平移

π

6

个单位得到y=2cos(2(x-

π

6

))的图象．
∴函数y=2cos2x的图象可由函数y=cos2x+

3

sin2x的图象向左平移

π

6

个单位得到．故④也为真命题．
答案是 C

点评：本题考查的知识点是，判断命题真假，比较综合的考查了三角函数的一些性质，我们可以根据三角函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．y=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)是我们最常用的公式．