Question

（2013•静安区一模）已知α、β为锐角，且(1+tan

α

2

)(1+tan

β

2

)=2，则tanαtanβ=

1

．

Answer 1

分析：由条件利用两角和的正切公式求得tan（

α+β

2

）=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，可得

α+β

2

=

π

4

，即α+β=

π

2

，由此求得tanαtanβ 的值．

解答：解：∵已知α、β为锐角，且(1+tan

α

2

)(1+tan

β

2

)=2，则 1+tan

α

2

+tan

β

2

+tan

α

2

•tan

β

2

=2，
化简可得，tan

α

2

+tan

β

2

=1-tan

α

2

•tan

β

2

，∴tan（

α+β

2

）=

tan α 2 +tan β 2

1-tan α 2 tan β 2

=1，
∴

α+β

2

=

π

4

，∴α+β=

π

2

，即α与β互为余角，故有 tanαtanβ=1，
故答案为 1．

点评：本题主要考查两角和的正切公式，互余的两个角正切值间的关系，属于中档题．