Question

已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x+1）=log₂（3x+2），求在g（x）≥f（x）成立的条件下，函数y=g（x）-f（x）的值域．

Answer 1

分析：先由g（x+1），求得g（x），再将“g（x）≥f（x）”转化为“log₂（3x-1）≥log₂（x+1）”，再利用对数函数的单调性求得x的取值范围，即为新函数y=g（x）-f（x）的定义域，然后，利用函数的单调性求得新函数的值域．

解答：解：由题设，g（x）=log₂（3x-1）--（2分）
由g（x）≥f（x）即：log₂（3x-1）≥log₂（x+1）得

3x-1≥x+1 3x-1＞0 x+1＞0

?

x≥1 x＞ 1 3 x＞-1

⇒x≥1
∴使g（x）≥f（x）的x的取值范围是
x≥1y=g（x）-f（x）=log₂（3x-1）-log₂（x+1）
=log2

3x-1

x+1

=log2(3-

4

x+1

)
∵x≥1∴1≤3-

4

x+1

＜3
又∵y=log₂x在x∈（0，+∞）上单调递增
∴当x≥1时，log23＞log2(3-

4

x+1

)≥log21=0，
∴所求函数的值域为[0，log₂3）

点评：本题主要考查对数的运算法则及对数函数的定义域，单调性和值域，还考查了函数的构造与转化，体现了综合性．