Question

（2013•南通二模）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB=AC=A₁B=2．
（1）求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）在棱B₁C₁上确定一点P，使二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为

2 5

5

．

Answer 1

分析：（1）因为AB⊥AC，A₁B⊥平面ABC，所以以A为坐标原点，分别以AC、AB所在直线分别为x轴和y轴，以过A，且平行于BA₁的直线为z轴建立空间直角坐标系，由AB=AC=A₁B=2求出所要用到的点的坐标，求出棱AA₁与BC上的两个向量，由向量的夹角求棱AA₁与BC所成的角的大小；
（2）设棱B₁C₁上的一点P，由向量共线得到P点的坐标，然后求出两个平面PAB与平面ABA₁的一个法向量，把二面角P-AB-A₁的平面角的余弦值为

2 5

5

转化为它们法向量所成角的余弦值，由此确定出P点的坐标．

解答：解：（1）如图，以A为原点，AC、AB所在直线分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（2，0，0），B（0，2，0），A₁（0，2，2），B₁（0，4，2），

AA1

=(0， 2， 2)，

BC

=

B1C1

=(2， -2， 0)．
所以cos＜

AA1

，

BC

＞=

AA1 • BC

| AA1 |•| BC |

=

0×2+2×(-2)+2×0

22+22 • 22+(-2)2

=

-4

8

=-

1

2

，
所以向量

AA1

与

BC

所成的角为

2π

3

，
故AA₁与棱BC所成的角是

π

3

．
（2）设P为棱B₁C₁上的点，
由

B1P

=λ

B1C1

=(2λ，  -2λ，   0)，得P（2λ，4-2λ，2）．
设平面PAB的法向量为

n1

=（x，y，z），

AP

=(2λ，  4-2λ，  2)，

AB

=(0，2，0)，
由

n1 • AP =0 n1 • AB =0

，得

x+3y+2z=0 2y=0

，
取x=1，得z=-λ，故

n1

=（1，0，-λ）．
而平面ABA₁的一个法向量是

n2

=（1，0，0），
则cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1

1+λ2

=

2 5

5

，
解得λ=

1

2

，即P为棱B₁C₁中点，其坐标为P（1，3，2）．

点评：本题考查了异面直线所成的角，考查了二面角的平面角的求法，解答的关键是首先建立正确的空间右手系，然后准确计算出一些点的坐标，此题是中档题．