题目内容
【题目】已知椭圆
：
（
）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，且直线
与圆
相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线
，
都经过椭圆的左顶点
，与椭圆分别交于
，
两点，且
.求证：直线
过定点，并求出该定点坐标.
【答案】（1）
（2）证明见解析；定点
【解析】
（1）根据椭圆
短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线
与圆
相切，建立方程组，求出
，
，即可求椭圆
的方程；
（2）设直线
的方程为：
，
，
，则
，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，整理得：
，从而求出直线过定点坐标；
解：（1）由题意，
①，
，
②
由① ②得：
，
，所以椭圆的方程为：；
（2）显然直线与
轴不平行，
设直线的方程为：，，
由
，
所以
，
.
因为
，
所以
整理得：，
所以直线的方程为：
，即直线过定点.
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