Question

设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则

AM

MH

的值为（　　）

• A．

  5 -1

  2

• B．

  5 +1

  2

• C．

  2

• D．1

Answer 1

分析：设正四面体的棱长为a，MH=x，则 BH=

2

3

×

3

2

a，故有 MC²=MB²=MH²+BH²=x²+

1

3

a²，再由MB²+MC²=BC²，得 2（x²+

1

3

a²）=a²，解得x的值，根据AH的值求得

AM

MH

的值．

解答：解：设正四面体的棱长为a，MH=x，则 BH=

2

3

×

3

2

a，故有 MC²=MB²=MH²+BH²=x²+

1

3

a²，
在Rt△BMC中，由MB²+MC²=BC²，得 2（x²+

1

3

a²）=a²，解得x=

6

6

a．
再由AH=

AB2-BH2

=

a2- a2 3

=

6

3

a，
∴AM=MH=

1

2

AH，即

AM

MH

=1．
故选 D．

点评：本题主要考查棱锥的结构特征，求出BH=

2

3

×

3

2

a，AH=

6

3

a，是解题的关键，属于基础题．