Question

数列{a_n}中，a1=2，an+1=

an

2

+

1

an

，试证：

2

＜an＜

2

+

1

n

．

Answer 1

分析：由题设知a_n＞0，当n=1时，a1=2＜

2

+1；当n=2时，a2=0.5a1+

1

a1

=

3

2

＜

2

+

1

2

．假设当n=k（k∈N）时，ak＜ 

2

+

1

k

，那么当n=k+1时，ak+1=0.5ak+

1

ak

，ak+1≤0.5(

2

+

1

k

) +

1

2 + 1 k

．再用作商法比较0.5(

2

+

1

k

) +

1

2 + 1 k

和

2

+

1

k+1

的大小．从而证明出，

2

＜an＜

2

+

1

n

．

解答：证明：∵a₁=2，an+1=0.5an+

1

an

，∴a_n＞0，
∵0.5a_n²-a_n+1a_n+1=0，由△=a_n+1²-2≥0，得an+1≤-

2

（舍去）或an+1≥

2

．
当n=1时，a1=2＜

2

+1；
当n=2时，a2=0.5a1+

1

a1

=

3

2

＜

2

+

1

2

．
假设当n=k（k∈N）时，ak＜ 

2

+

1

k

，
那么当n=k+1时，ak+1=0.5ak+

1

ak

，
∵0.5ak+

1

ak

≥

2

，当且仅当ak=

2

时等号成立，

2

≤ak＜

2

+

1

k

，
∴ak+1≤0.5(

2

+

1

k

) +

1

2 + 1 k

．
面用作商法比较0.5(

2

+

1

k

) +

1

2 + 1 k

和

2

+

1

k+1

的大小．
∵

0.5( 2 + 1 k )+ 1 2 + 1 k

2 + 1 k+1

=

4k2+2 2 k+1 2k( 2 k+1)

2 k+ 2 +1 k-1

=

4k3+(4+2 2 )k2+(2 2 +1)k+1

4k3+4(1+ 2 )k2+2( 2 +1) k

＜1，
∴0.5(

2

+

1

k

)  +

1

2 + 1 k

＜

2

+

1

k+1

，
∴ak+1＜

2

+

1

k+1

，
即当n=k+1时，an＜

2

+

1

n

成立．
∴对于任意n∈N，

2

＜an＜

2

+

1

n

均成立．

点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件．