Question

设函数f(x)=

x2-x+n

x2+x+1

，(x∈R，且x≠

n-1

2

，n∈N*)的最小值为a_n，最大值为b_n，记c_n=（1-a_n）（1-b_n），则数列{c_n}为（　　）

A．是常数列

B．是公比不为1的等比数列

C．是公差不为0的等差数列

D．不是等差数列也不是等比数列

Answer 1

分析：先利用判别式法求出函数的值域，从而求出a_n与b_n，代入c_n=（1-a_n）（1-b_n），然后判定数列{c_n}的规律．

解答：解：令y=f（x）=

x2-x+n

x2+x+1

（x∈R，x≠

n-1

2

，x∈N*），
则y（x²+x+1）=x²-x+n，
整理得：（y-1）x²+（y+1）x+y-n=0，
△=（y+1）²-4（y-1）（y-n）≥0，
解得：

3+2n-2 n2+1

3

≤y≤

3+2n+2 n2+1

3

．
∴f（x）的最小值为a_n=

3+2n-2 n2+1

3

，
最大值为b_n=

3+2n+2 n2+1

3

，
∴c_n=（1-a_n）（1-b_n）=-

4

3

．
∴数列{c_n}是常数数列
故选A．

点评：本题主要考查了分式函数的值域，以及数列的判定，同时考查了计算能力，属于中档题．