Question

已知集合M={（x，y）|（x+

x2+1

）（y+

y2+1

）=1}，则集合M表示的图形是

直线

．

Answer 1

分析：把式子中的x、y看作变量，把等式化为分式再进行分母有理化，即x+

x2+1

=

1

y+ y2+1

=-y+

y2+1

，再构造函数f(x)=x+

x2+1

，得到f（x）=f（-y），求出函数的导数判断函数的单调性，得到x=-y再移项即可．

解答：解：把式子中的x、y看作变量，把（x+

x2+1

）（y+

y2+1

）=1中出现的代数式看作函数，
等式化为：x+

x2+1

=

1

y+ y2+1

=-y+

y2+1

，
设f(x)=x+

x2+1

（x∈R），则上式化为f（x）=f（-y），
∵f′(x)=1+

1

2

•

2x

x2+1

=

2( x2+1 +x)

2 x2+1

＞0，
∴f(x)=x+

x2+1

为R上的增函数，
∴x=-y，即x+y=0，
则集合M表示的图形是直线，
故答案为：直线．

点评：本题考查了函数思想，导数与函数单调性的关系，入手较难，综合性强，考查了观察能力和逻辑推理能力．