Question

已知实数x，y满足：e^x+y=x+1．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）解关于x的不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

．

Answer 1

（1）∵实数x，y满足：e^x+y=x+1，变形，得x+y=ln（x+1），
∴y=ln（x+1）-x，
又∵y=f（x）∴f（x）=ln（x+1）-x，（x＞-1）
则f′(x)=

1

x+1

-1=

-x

x+1

当-1＜x＜0时，f'（x）＞0； 
 当x＞0时，f'（x）＜0
∴f（x）在（-1，0）上单调递增；在（0，+∞）上单调递减．
（2）ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

变形为In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2
∵f（x）=ln（x+1）-x，
∴不等式In(1+

x+1

)-

x+1

＞In(1+2)-2等价于f（

1+x

）＞f（2）
由（1）知f（x）=ln（1+x）-x在（0，+∞）上单调递减
∴f（

1+x

）＞f（2）等价于

1+x

＜2
解得-1＜x＜2
∴不等式ln(1+

x+1

)-

x+1

＞ln

3

e2

解集为 {x|-1＜x＜2}