题目内容

给出下列命题：
（1）函数f（x）=4sin（2x+ $数学公式$ ）的图象关于点（- $数学公式$ ）对称；
（2）函数g（x）=-3sin（2x- $数学公式$ ）在区间（- $数学公式$ ）内是增函数；
（3）函数h（x）=sin（ $数学公式$ x- $数学公式$ ）是偶函数；
（4）存在实数x，使sinx+cosx= $数学公式$ ．
其中正确的命题的序号是________．

解：当x=- $\text{[math]}$ 时，函数f（x）=4sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=0，故点（- $\text{[math]}$ ）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（- $\text{[math]}$ ）对称，故（1）正确．
（2）由于函数g（x）=-3sin（2x- $\text{[math]}$ ），由 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，
可得kπ+ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，取k=-1，得 $\text{[math]}$ ≤x≤- $\text{[math]}$ ，
故函数的增区间为[ $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ]，故（2）不正确．
（3）由于h（x）=sin（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=cos $\text{[math]}$ ，从而h（-x）=h（x），得h（x）是偶函数，∴命题（3）正确；
（4）中令y=sinx+cosx= $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ）则- $\text{[math]}$ ≤y≤ $\text{[math]}$ ，
∵- $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，∴存在实数x，使得sinx+cosx= $\text{[math]}$ ；即（4）正确．
其中正确的命题的序号是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．
分析：根据点（- $\text{[math]}$ ）是函数图象与x轴的交点，故函数图象关于点（- $\text{[math]}$ ）对称，故（1）正确；
由 2kπ+ $\text{[math]}$ ≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ+ $\text{[math]}$ ，k∈z，可得y=sin（2x- $\text{[math]}$ ）的增区间，可得（2）不正确；
对于（3），利用诱导公式化简为y=-cosx，该函数是偶函数；（3）正确；
（4）根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为 $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$ ），再由正弦型函数的值域，可以判断（4）的真假．
点评：本题主要考查正弦函数的奇偶性、对称性、单调性，判断命题的真假，以及y=Asin（ωx+∅）图象与性质，掌握y=Asin（ωx+∅）图象和性质是解题的关键．属于中档题．