Question

已知函数y=sin²x+2sinxcosx+3cos²（π+x）．
（1）求该函数的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[-

π

2

，0]时，求该函数的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）把函数解析式先利用诱导公式化简，再根据二倍角的正弦、余弦函数公式化简，最后用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

ω

即可求出函数的最小正周期，根据正弦函数的单调递减区间[2kπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]列出关于x的不等式，求出不等式的解集即为函数的递减区间；
（2）由x的范围，求出（1）化简后函数解析式中角度的范围，根据正弦函数的图象与性质可得出函数的值域，进而得到函数的最大值及最小值．

解答：解：（1）y=sin²x+2sinxcosx+3cos²x
=sin2x+cos2x+2
=

2

sin(2x+

π

4

)+2…（4分）
∵ω=2，
∴函数的最小正周期为T=

2π

2

=π．…（5分）
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

(k∈Z)得 …（6分）
函数的单调减区间为[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

](k∈Z)…（8分）
（2）∵x∈[-

π

2

，0]，
∴-

3π

4

≤2x+

π

4

≤

π

4

，…（9分）
由（1）及三角函数的性质可知y_max=3，ymin=2-

2

．…（13分）

点评：此题考查了三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的图象与性质，涉及的知识有：二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，周期公式，正弦函数的单调性，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．