Question

已知函数。

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若对于任意的，都有≤，求的取值范围。

Answer 1

 [解]　(1)f′(x)＝(x²－k²)e.令f′(x)＝0，得x＝±k.当k>0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x	(－∞，－k)	－k	(－k，k)	k	(k，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)		4k2e－1		0

所以f(x)的单调递增区间是(－∞，－k)和(k，＋∞)；单调递减区间是(－k，k)．

当k<0时，f(x)与f′(x)的情况如下：

x	(－∞，k)	k	(k，－k)	－k	(－k，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)		0		4k2e－1

所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k)和(－k，＋∞)；单调递增区间是(k，－k)．

(2)当k>0时，因为f(k＋1)＝e>，所以不会有∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤.

当k<0时，由(1)知f(x)在(0，＋∞)上的最大值是f(－k)＝.

所以∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤等价于f(－k)＝≤.

解得－≤k<0.

故当∀x∈(0，＋∞)，f(x)≤时，k的取值范围是[－，0)．