Question

已知抛物线y²=4x的焦点为椭圆C的右焦点，且C的离心率e=

1

2

，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，射线MO交C于点N．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）试证在（I）的条件下，椭圆C在点N处的切线与AB平行．

Answer 1

分析：（I）根据题意可得椭圆的半焦距c=1，结合椭圆的离心率与椭圆中a、b与c的关系可得椭圆的方程．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，联立直线与椭圆的方程结合根与系数的关系可得KAB=-

3x0

4y0

，因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)，利用导数求出在N点的切线的斜率k′=-

3x3

4y3

，由M、O、N三点共线，则有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，进而即可证明结论正确．

解答：解：（I）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
因为抛物线y²=4x的焦点为（1，0），
所以半焦距c=1．
又离心率e=

1

2

，
∴a=2，∴b²=a²-c²=3
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），N（x₃，y₃），并且设椭圆在N出的切线斜率为K′，
则

x2 4 + y2 3 =1       (1) x 2 2 4 + y 2 2 3 =1       (2)

，
(1)-(2)整理得：

x1+x2

4

+

y1+y2

3

•

y1-y2

x1-x2

=0，
即有KAB=-

3x0

4y0

(由已知得y0≠0)．
因为由题意可得，N点在椭圆的下半部分，
所以由

x2

4

+

y2

3

=1可得y=-

1

2

12-3x2

(y＜0)
所以y′=- 

1

2

-6x

12-3x2

=-

3x

4y

，
所以k′=-

3x3

4y3

，
又因为M、O、N三点共线，则有

x3

y3

=

x0

y0

，所以K_AB=K′，
即椭圆C在点N处的切线与AB平行．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆中相关数值的相互关系，以及当椭圆与直线相交时的弦中点问题，并且熟练掌握导数的几何意义．