Question

（2013•虹口区一模）在等比数列{a_n}中，已知a₁a₂=32，a₃a₄=2，则

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

±16

．

Answer 1

分析：设出等比数列{a_n}的首项和公比，然后由a₁a₂=32，a₃a₄=2联立方程组，求出首项和公比后可得等比数列的前n项和，最后可求前n项和的极限值．

解答：解：设等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，由a₁a₂=32，a₃a₄=2，得：

a12q=32① a12q5=2②

，
②÷①得：q4=

2

32

=

1

16

=(

1

2

)4，所以，q=±

1

2

．
当q=

1

2

时，代入①得，a₁=±8．
当q=-

1

2

时，不合题意（舍）．
所以，当a₁=8，q=

1

2

时，an=a1qn-1=8×(

1

2

)n-1．
则

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=16．
当a₁=-8，q=-

1

2

时，an=a1qn-1=-8×(

1

2

)n-1．
则

lim

n→∞

(a1+a2+a3+…+an)=

lim

n→∞

-(8+8×

1

2

+8×

1

4

+…+8×(

1

2

)n-1)
=-

lim

n→∞

8×(1-( 1 2 )n)

1- 1 2

=-

lim

n→∞

16×(1-(

1

2

)n)=-16．
所以，

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=±16．
故答案为±16．

点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列前n项和的求法，考查了分类讨论的数学思想，训练了数列极限的求法，此题是中档题．