Question

（本小题满分14分）已知函数

（1）当时，求函数的最值；

（2）当时，过原点分别作曲线和的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：

Answer 1

（1）最大值为 无最小值 （2）详见解析

【解析】

试题分析：第（1）问利用导数求函数的单调区间，求解函数的最值；第（2）问背景为指数函数与对数函数关于直线对称的特征，得到过原点的切线也关于直线对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明．

试题解析：（1）当时，，定义域为．

对求导，得．

当时，，当时，，即函数在上单调递增，在上单调递减．

所以，没有最小值．

（2）设切线的方程为，切点为，则，

，所以，，则.

由题意知，切线的斜率为，的方程为．

设与曲线的切点为，则，

所以，．

又因为，消去和后，整理得．

令，则，在上单调递减，在上单调递增．

若，因为，，所以，

而在上单调递减，所以．

若，因为在上单调递增，且，则，

所以（舍去）．

综上可知，．

考点：导数的几何意义，函数的单调性、最值.