Question

已知函数f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1．
（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；
（2）若α为第二象限角，且f(α+

π

6

)=

1

3

，求

1-cos2a

sin2a

的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，可得f（x）的最小正周期和它的值域．
（2）由条件求得sinα=

2

3

，再由α为第二象限角，可得cosα 和tanα 的值，再由

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana，从而求得结果．

解答：解：（1）函数f(x)=2

3

sin

x

2

cos

x

2

+sin2

x

2

-cos2

x

2

-1=

3

sinx-(1+cosx)=2sin(x-

π

6

)-1，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

1

=2π，值域[-3，1]．
（2）∵f(α+

π

6

)=2sinα-1=

1

3

，∴sinα=

2

3

，再由α为第二象限角，可得cosα=-

5

3

，tanα=

sinα

cosα

=-

2 5

5

，
∴

1-cos2a

sin2a

=

2sin2a

2sina•cosa

=tana=-

2 5

5

．

点评：本题主要考查三角函数性质及简单的三角变换，要求学生能正确运用三角函数的概念和公式对已知的三角函数进行化简求值，属于中档题．