Question

【题目】已知点N在曲线上，直线与轴交于点，动点满足，记点的轨迹为

（1）求的轨迹方程；

（2）若过点的直线与交于两点，点在直线上 (为坐标原点)，求证：

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）设出点的坐标，利用构造出坐标的表达式，再利用点是曲线上的一点，代入即可求解；

（2）结合抛物线的定义及图象，将问题转化为证明垂直准线

（1）)依题意，可得，设，

由，可得，解得，

因为点在，代入整理得，

即曲线的轨迹方程.

（2）设直线的方程是， ，

联立方程组，整理得，

由

因为直线 的方程为，将的坐标代人可得，

根据抛物线的定义，可得等于点 到准线的距离，

由于 在准线上，

所以要证明只需证明 垂直准线，即证 轴，

因为的横坐标为

所以轴成立，所以成立.