Question

（30分）如图，已知抛物线C：，F为C的焦点，l为准线，且l交x轴于E点，过点F任意作一条直线交抛物线C于A、B两点。

（1）若，求证：；

（2）设M为线段AB的中点，P为奇素数，且点M到x轴的距离和点M到准线l的距离均为非零整数，求证：点M到坐标原点O的距离不可能是整数。

Answer 1

解析：（1）方法1：点F的坐标为（p，0），设直线l的方程为

得  ①

设，则y₁、y₂是方程①的两个根，有

由

因为，

又

所以

故   …………10分

方法2：如图，设点A、B在准线l上的射影分别为A′、B′，

则|AF|=|A′A|，|BF|=|B′B|。从而，由

因为

又

故 …………10分

（2）设M（x，y），依题意x、y均为非零整数，由对称性，不防设x，y，则

 ②

因为点M在直线AB上，所以x=my+p  ③

由②、③消去m，得   ④

假设|OM|=r为正整数，则   ⑤

因为p为奇质数，所以由④知，p|y，从而p|x。

于是，由⑤知p|r。

令，则有

。

消去y₁，得

即

又有相同的奇偶性，且

所以

从而y₁=0，于是y=-0，这与y为正整数矛盾。

故点M到坐标顶点O的距离不可能是整数。