Question

四棱锥P-ABCD中底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=2
（1）求证：BD⊥PC；
（2）求BP与平面PAC所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用线面垂直的判定，证明BD⊥平面PAC，即可得出结论；
（2）设AC∩BD=O，连接OP，则∠BPO是BP与平面PAC所成角，即可得出结论．

解答：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴BD⊥AC，
∵PA，AC是平面PAC内的两条相交直线，
∴BD⊥平面PAC
∵PC?平面PAC
∴BD⊥PC；
（2）解：设AC∩BD=O，连接OP，则
∵底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，
∴BO⊥AC，BO⊥PA
∵AC∩PA=A
∴BO⊥平面PAC，
∴∠BPO是BP与平面PAC所成角，
∵PA=AB=2
∴PB=2

2

，OB=

2

∴sin∠BPO=

1

2

∴∠BPO=30°
即BP与平面PAC所成角是30°．

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．