Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上，过右焦点作直线l（不与x轴垂直）交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于P．
（1）求椭圆的方程；
（2）试探索

|AB|

|PF|

的直径是否为定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上，可得b=c=1，利用a²=b²+c²，即可求得椭圆的方程；
（2）设直线l的方程与椭圆方程联立，，利用韦达定理确定M的坐标，从而可得线段AB的垂直平分线的方程，由此可得P的坐标，计算|PF|、|AB|，即可得到结论．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x²+y²=1上，
∴b=c=1，∴a²=b²+c²=2
∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）设直线l的方程为y=k（x-1），A（x₁，y₁），B（（x₂，y₂），则中点M的坐标为（

x1+x2

2

，

y1+y2

2

）
与椭圆方程联立，消去y可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
则x₁+x₂=

4k2

1+2k2

，x₁x₂=

2k2-2

1+2k2

∴y₁+y₂=k（x₁+x₂-2）=

-2k

1+2k2

∴中点M的坐标为M（

2k2

1+2k2

，

-k

1+2k2

）
由点斜式可得线段AB的垂直平分线的方程为y+

k

1+2k2

=-

1

k

（x-

2k2

1+2k2

）
即-ky=x-

k2

1+2k2

令y=0，得x=

k2

1+2k2

，∴P的坐标为（

k2

1+2k2

，0）
∴|PF|=1-

k2

1+2k2

=

k2+1

1+2k2

∵|AB|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

2 2 (k2+1)

1+2k2

∴

|AB|

|PF|

=2

2

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查弦长的计算，属于中档题．