Question

已知函数f（x）=（x²+ax+b）e^x，x=1是它的一个极值点．
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x∈[0，1]时，函数f（x）无零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：对函数求导可得，f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x由题意可得，f′（1）=0可得2a+b+3=0
（I）由a=0可求b，进而可求f′（x）=e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1），由f′（x）＞0，f′（x）＜0可求函数的单调区间
（II）由已知得2a+b+3=0可得b=-2a-3，由f′（x）=[x²+（a+2）x+a+b]e^x=0，得x=1或x=-a-3当x∈[0，1]时，函数f（x）无零点，结合函数的图象可得

3-a＞1 f(0)＞0或f(1)＜0

或

0≤-3-a≤1 f(0)＞0 f(1)＞0

或

0≤-3-a≤1 f(-3-a)＜0

或

-3-a＜0 f(1)＞0或f(0)＜0

从而可求a的取值范围

解答：解：∵f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x
=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
由题意可得，
f′（1）=0
∴（3+b+2a）e=0
∴2a+b+3=0（2分）
（I）∵a=0
∴b=-3，f（x）=（x²-3）e^x（3分）
∴f′（x）=e^x（x²+2x-3）=e^x（x+3）（x-1）
由f′（x）＞0可得，x＜-3或x＞1，由f′（x）＜0可得-3＜x＜1
∴y=f（x）的单调递增区间为（-∞，，-3），（1，+∞）；单调减区间（-3，1）（5分）
（II）由已知得2a+b+3=0
∴b=-2a-3，f（x）=（x²+ax-2a-3）e^x，
则f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=[x²+（a+2）x+a+b]e^x
令f′（x）=0，得x=1或x=-a-3（7分）
当x∈[0，1]时，函数f（x）无零点，结合函数的图象可得

3-a＞1 f(0)＞0或f(1)＜0

或

0≤-3-a≤1 f(0)＞0 f(1)＞0

或

0≤-3-a≤1 f(-3-a)＜0

或

-3-a＜0 f(1)＞0或f(0)＜0

即

a＜2 -2a-3＞0或-a-2＜0

①或

3≤-a≤4 -2a-3＞0 -a-2＞0

②或

3≤-a≤4 a2+4a＜0

③或

a＞-3 -a-2＞0或-2a-3＜0

④
解①可得，a＜2
②可得-4≤a≤-3
解③可得-4＜a≤-3
解④可得-3＜a＜-2或a＞-

3

2

综上可得a＜-2或a＞-

3

2

（10分）
又当a=-4时，f′'（x）≥0恒成立，此时f（x）不存在极值
∴a的取值范围为a＜-2或a＞-

3

2

且a≠-4（12分）

点评：本题主要考查了利用函数的导数判断函数的单调区间，及方程的根的分布问题，解题中要注意分类讨论思想的应用．