Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁₌a，a_n+1=S_n+3ⁿ，n∈N^*．
（1）当a=2时，写出a₁，a₂，a₃．
（2）设b_n=Sn-3n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）利用a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，代入计算可得结论；
（2）根据a_n+1=S_n+3ⁿ，可得S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ，而b_n=S_n-3ⁿ，因此可得数列{b_n}是等比数列，利用等比数列通项公式的求法，即可确定结论．

解答：解：（1）∵a₁=2，a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴a₂=2+3=5，a₃=2+5+9=16；
（2）∵a_n+1=S_n+3ⁿ，
∴S_n+1-S_n=a_n+1=S_n+3ⁿ，即S_n+1=2S_n+3ⁿ
∵b_n=Sn-3n，
∴

bn+1

bn

=

Sn+1-3n+1

Sn-3n

=2
∴{b_n}为等比数列，公比为2．
又a≠3，∴b₁=S₁-3=a-3≠0，
∴b_n=（a-3）•2^n-1．

点评：本题中用构造法求数列的通项，是递推关系知道的情况下求数列通项的常用方法，属于中档题．