Question

已知平面直角坐标系中△ABC顶点的分别为A(m，

3

m)，B（0，0），C（c，0），其中c＞0．
（1）若c=4m，求sin∠A的值；
（2）若AC=2

3

，B=

π

3

，求△ABC周长的最大值．

Answer 1

分析：（1）先表示出

AB

，

AC

，再由c=4m代入到

AC

中，再由向量的夹角公式可求得其余弦值等于0，进而可得到sin∠A的值．
（2）先根据B的值确定A的范围，再用正弦定理表示出BC、AB的长度进而可表示出三角形的周长，最后根据两角和与差的公式化简，根据正弦函数的性质可求得最大值．

解答：解：（1）

AB

=(-m，-

3

m)，

AC

=(c-m，-

3

m)，
若c=4m，则

AC

═(3m，-

3

m)，
∴cos∠A=cos＜

AC

，

AB

＞=

-3m2+3m2

2m×2 3 m

=0，
∴sin∠A=1；
（2）△ABC的内角和A+B+C=π，
由B=

π

3

，A＞0，C＞0
得0＜A＜

2π

3

．
应用正弦定理，知：BC=

AC

sinB

sinA=

2 3

sin π 3

sinA=4sinA，AB=

AC

sinB

sinC=4sin(

2π

3

-A)．
因为y=AB+BC+AC，
所以y=4sinA+4sin(

2π

3

-A)+2

3

(0＜A＜

2π

3

)，
因为y=4(sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx)+2

3

=4

3

sin(A+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

)，
所以，当A+

π

6

=

π

2

，即A=

π

3

时，y取得最大值6

3

．

点评：本题主要考查向量夹角的求法和两角和与差的公式、正弦定理的应用．考查基础知识的综合应用和计算能力．三角函数的公式比较多，不容易掌握，一定要在平时就注意积累，这样到考试时才不会手忙脚乱．