Question

椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的两焦点为F₁，F₂，（O为坐标原点），P为椭圆上一点，OP，F₂P的斜率分别为-

24

7

和-

3

4

．
（1）求证：

PF1

•

PF2

=0；
（2）若△OPF₁的面积为3，求椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）解法一 依题意，令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，则tanα=

3

4

，tan2α=

24

7

=tanγ．所以γ=2α=α+β，α=β．OP=OF₂=OF₁，θ+β=90°，由此能证明

PF

1•

PF2

=0．
解法二 设 P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），由题意，得

y0

x0

=-

24

7

，

y0

x0-c

=-

3

4

．所以

x0=- 21 75 c y0= 72 75 c.

由此能够证明

PF1

•

PF2

=0．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，所以F1F2=5m，6=2S△OPF1=

1

2

•3m•4m，由此能求出椭圆方程．

解答：解：（1）解法一 依题意，
令∠PF₂O=α，∠POF₁=γ，
则tanα=

3

4

，tan2α=

24

7

=tanγ．
∴γ=2α=α+β，
∴α=β．
∴OP=OF₂=OF₁，
θ+β=90°，
所以

PF

1•

PF2

=0．
解法二 设 P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意，得

y0

x0

=-

24

7

，①

y0

x0-c

=-

3

4

． ②
由①、②，可知

x0=- 21 75 c y0= 72 75 c.

∴kPF1=

y0

x0+c

=

72 75 c

- 21 75 c+c

=

4

3

．
∴kPF1•kPF2=-1，
∴PF₁⊥PF₂，
∴

PF1

•

PF2

=0．
（2）在Rt△PF₁F₂中，PF₁=4m，
∴F1F2=5m，6=2S△OPF1=

1

2

•3m•4m，
所以m=1，2a=7，2c=5，
∴b²=6．
所以椭圆方程为

x2

49 4

+

y2

6

=1．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．