题目内容
设函数f（x）的定义域为[-1，1]，f[cos(α+
)]=tcos(2α+
)+sin(α+
)+cos(α+
)
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．
| π |
| 30 |
| π |
| 15 |
| π |
| 5 |
| 11π |
| 30 |
（1）若f（0）=-1，求t的值和f（x）的零点；
（2）记h（t），g（t）分别是f（x）的最大值、最小值，求函数F（t）=h（t）-g（t）的解析式．
分析：（1）根据cos
=0得出α=
，然后代入函数中，再由特殊角的三角函数值求出结果，然后化简得出f[cos（α+
）]=2cos2（a+
）+cos（a+
）-1，再 令x=cos（a+
）得出f（x）=2x2+x-1，即可求出零点．
（2）讨论开口方向和对称轴与区间[-1，1]的位置关系，根据函数的单调性求出函数的最值，从而求出函数F（t）的解析式．
| π |
| 2 |
| 7π |
| 15 |
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
（2）讨论开口方向和对称轴与区间[-1，1]的位置关系，根据函数的单调性求出函数的最值，从而求出函数F（t）的解析式．
解答：解：（1）令α=
∴f（cos
）=tcosπ+sin（
π）+cos（
π）=-t=-1
∴t=1
∴f[cos（α+
）]=cos（2a+
）+sin（α+
）+cos（a+
）
=cos2（a+
）+sin[（a+
）+
]+cos[（a+
）+
]
=2cos2（a+
）+cos（a+
）-1
令x=cos（a+
）
∴f（x）=2x2+x-1
∵-1≤x≤1
∴x1=-1 x2=
（2）f[cos（α+
）]=tcos（2a+
）+sin（α+
）+cos（a+
）
=tcos2（a+
）+sin[（a+
）+
]+cos[（a+
）+
]
=2tcos2（a+
）+cos（a+
）-t
令x=cos（a+
）
∴f（x）=2tx2+x-t x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-
≤-1时即0＜t≤
，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=t-1
-1＜-
＜1时即t＞
，函数在[-1，-
]上为减函数，在[-
，1]上为增函数，最大值为h（t）=t+1，最小值为g（t）=
当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-
＜1时即t＜-
，函数在[-1，-
]上为增函数，在[-
，1]上为减函数，最大值为h（t）=
，最小值为g（t）=t-1
-
≥1时即0＞t≥-
，函数在[-1，1]上为减函数，最大值为h（t）=t-1，最小值为g（t）=t+1
∴F（t）=h（t）-g（t）=
| 7π |
| 15 |
∴f（cos
| π |
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
∴t=1
∴f[cos（α+
| π |
| 30 |
| π |
| 15 |
| π |
| 5 |
| 11π |
| 30 |
=cos2（a+
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
| π |
| 6 |
| π |
| 30 |
| π |
| 3 |
=2cos2（a+
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
令x=cos（a+
| π |
| 30 |
∴f（x）=2x2+x-1
∵-1≤x≤1
∴x1=-1 x2=
| 1 |
| 2 |
（2）f[cos（α+
| π |
| 30 |
| π |
| 15 |
| π |
| 5 |
| 11π |
| 30 |
=tcos2（a+
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
| π |
| 6 |
| π |
| 30 |
| π |
| 3 |
=2tcos2（a+
| π |
| 30 |
| π |
| 30 |
令x=cos（a+
| π |
| 30 |
∴f（x）=2tx2+x-t x∈[-1，1]，
当t＞0时，函数f（x）开口向上
-
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4 |
-1＜-
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4t |
| -8t2-1 |
| 8t |
当t=0时，函数在[-1，1]上为增函数，最大值为h（t）=1，最小值为g（t）=-1
当t＜0时，函数f（x）开口向下
-1＜-
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4t |
| -8t2-1 |
| 8t |
-
| 1 |
| 4t |
| 1 |
| 4 |
∴F（t）=h（t）-g（t）=
|
点评：本题考查了三角函数的化简求值以及函数零点的求法，求函数的零点时要注意x的范围，以及函数最值的应用，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
）与b=f（
）的大小关系为________．
）与b=f（
）的大小关系为 ．
）与b=f（
）的大小关系为（ ）．