题目内容

设0＜θ＜,曲线x2sinθ+y2cosθ=1和x2cosθ-y2sinθ=1有4个不同的交点.

(1)求θ的取值范围;

(2)证明这4个交点共圆,并求圆半径的取值范围.

思路解析：由经验知,要求θ的三角函数范围,想到两曲线有4个交点,则θ满足的方程组有4个解,问题(1)获解；要证四点共圆,由圆的定义可知,只需证明这4个点到某定点的距离相等即可.

(1)解：设交点坐标为(x,y),

则其满足方程组即有4个解,则x2＞0,y2＞0.

∴即

又∵0＜θ＜,∴

∴θ的取值范围是(0,).

(2)证明:由(1)得4个交点的坐标满足方程x2+y2=2cosθ(0＜θ＜),

即=.

∴四个交点到原点的距离均等于.

∴四个交点共圆,半径r=.

∵0＜θ＜,∴＜r＜.∴圆半径的取值范围是(,).

方法归纳

    解决多点共圆问题,只需证明这些点到某定点的距离均相等即可.定点是圆心,定距离是圆的半径.

练习册系列答案
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设直线x+ky-1=0被圆O：x2+y2=2所截弦的中点的轨迹为M，则曲线M与直线x-y-1=0位置关系为（　　）
A、相离B、相切C、相交D、不确定
已知点G是△ABC的重心，A（0，-1），B（0，1）．在x轴上有一点M，满足|
MA
|=|
MC
|，
GM
=λ
AB
(λ∈R)（若△ABC的顶点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则该三角形的重心坐标为G(
x1+x2+x3
3
，
y1+y2+y3
3
)）．
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（2）设（1）中曲线E的左、右焦点分别为F1、F2，过点F2的直线l交曲线E于P、Q两点，求△F1PQ面积的最大值，并求出取最大值时直线l的方程．
已知向量
m
=(x2，y-cx)，
n
=(1，x+b)，
m
∥
n
，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求
b
a
和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[
a
2
，a2]上单调递减，求b的取值范围；
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(1)求m的值;

(2)求直线PQ的方程.

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