题目内容

椭圆 
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为椭圆的右焦点，AF⊥BF，∠ABF=a，a∈[
π
12
，
π
4
]，则椭圆的离心率的取值范围为
 
．
分析：设左焦点为F′，根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a，根据B和A关于原点对称可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根据O是Rt△ABF的斜边中点可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分别表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出
c
a
即离心率e，进而根据α的范围确定e的范围．
解答：解：∵B和A关于原点对称
∴B也在椭圆上
设左焦点为F′
根据椭圆定义：|AF|+|AF′|=2a
又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a  …①
O是Rt△ABF的斜边中点，∴|AB|=2c
又|AF|=2csinα    …②
|BF|=2ccosα    …③
②③代入①2csinα+2ccosα=2a
∴
c
a
=
1
sinα+cosα

即e=
1
sinα+cosα
=
1
2
(sin(α+
π
4
)

∵a∈[
π
12
，
π
4
]，
∴
π
3
≤α+π/4≤
π
2

∴
3
2
≤sin（α+
π
4
）≤1
∴
2
2
≤e≤
6
3

故答案为[
2
2
，
6
3
]
点评：本题主要考查了椭圆的性质．解题时要特别利用好椭圆的定义．
练习册系列答案
相关题目
若椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞0）的一条准线经过抛物线y2=-8x的焦点，则该椭圆的离心率为（　　）
A、
1
2
B、
1
3
C、
3
2
D、
2
2
设P是椭圆
x2a2
+y2=1   (a＞1)短轴的一个端点，Q为椭圆上一个动点，求|PQ|的最大值．
已知椭圆
x2
a2
+y2=1（a＞0）的离心率为
3
2
．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若|AB|=
4
2
5
，求直线l的倾斜角．
椭圆
x2
a2
+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=
π
2
，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
（理）已知椭圆
x2a2
+y2=1(a＞1)，直线l过点A（-a，0）和点B（a，ta）（t＞0）交椭圆于M．直线MO交椭圆于N．
（1）用a，t表示△AMN的面积S；
（2）若t∈[1，2]，a为定值，求S的最大值．

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