Question

已知：；
通过观察上述三个等式的规律，请你写出一般性的命题：________=（*），并给出（*）式的证明．

Answer 1

sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）
分析：分析已知条件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=，sin²5°+sin²65°+sin²125°=．我们可以发现等式左边参加累加的三个均为正弦的平方，且三个角组成一个以60°为公差的等差数列，右边是常数，由此不难得到结论．
解答：一般形式：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）=…（4分）
证明 左边=…（7分）
=）]
=-sin2αsin240°]…（9分）
=sin2α]…（11分）
==右边
∴原式得证 …（12分）
（将一般形式写成 sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=，
sin²（α-240°）+sin²（α-120°）+sin²α=等均正确，其证明过程可参照给分．）
故答案为：sin²α+sin²（α+60°）+sin²（α+120°）
点评：归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想），（3）论证．