Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2

Sn

-1（n∈N^*）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设T_n=

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，P_n=

1

S1S2

+

1

S2S3

+…+

1

SnSn_+1

，求2T_n-P_n，并确定最小的正整数n，使2T_n-P_n＞

13

5

．

Answer 1

分析：（1）先看当n=1时，求得a₁，进而根据数列的递推式，利用a_n+1=S_n+1-S_n求得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0进而求得a_n+1-a_n=2
进而根据等差数列的性质求得数列的通项公式．
（2）根据（1）中的a_n可数列的前n项的和S_n，进而根据等比数列的求和公式求得T_n，利用裂项法求得P_n，则2T_n-P_n可求．根据2T_n-P_n的表达式可知，随n的增大，其结果也增大，进而可判断出n从5开始2T_n-P_n＞

13

5

．

解答：解：（1）当n=1时a1=2

a1

-1∵a1＞0∴a1=1
又由已知Sn=(

an+1

2

)2
∴Sn+1=(

an+1+1

2

)2
∴an+1=Sn+1-Sn=(

an+1+an+2

2

)(

an+1-an

2

)
化简得a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0?（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵a_n＞0∴a_n+1-a_n=2
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）
（2）∵an=2n-1∴Sn=

n(1+2n-1)

2

=n22Tn=

2

12

+

2

22

++

2

n2

又

1

SnSn+1

=[

1

n(n+1)

]2=(

1

n

-

1

n+1

)2=

1

n2

+

1

(n+1)2

-

2

n(n+1)

∴Pn=(

1

12

+

1

22

-

2

1•2

)+(

1

22

+

1

32

-

2

2•3

)++(

1

n2

+

1

(n+1)2

)
∴2Tn-Pn=

2

12

-1-

1

(n+1)2

+2(

1

1•2

+

1

2•3

++

1

n(n+1)

)
=1-

1

(n+1)2

+2(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n

-

1

n+1

)=3-

1

(n+1)2

-

2

n+1

=4-(

1

n+1

+1)2
随n的增大A=2T_n-P_n的值也增大n=4时A=4-

36

25

=

64

25

＜

13

5

n=5时，A=4-

49

36

=

95

36

＞

13

5

故所求n=5

点评：本题主要考查了数列的应用，考查了考生综合分析问题和解决问题的能力．