Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx+c满足条件f（-1），当x∈R时x≤f（x）≤

(x+1)2

4

恒成立．
（1）求f（1）；
（2）求f（x）的解析式；
（3）若x₁，x₂∈（0，+∞），且

1

x1

+ 

1

x2

 =2，求证：f（x₁）•f（x₂）≥1．

Answer 1

分析：（1）根据当x∈R时x≤f（x）≤

(x+1)2

4

恒成立． 令x=1，即可求得；
（2）根据f（1）=1，f（-1）=0，可得方程组，利用 x∈R时，f（x）≥x恒成立，可得ac≥

1

16

，借助于基本不等式可得∴ac≤

1

16

．从而可求函数的解析式；
（3））利用条件

1

x1

+

1

x2

=2，x₁，x₂∈（0，+∞），借助于基本不等式，可得（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=3x₁x₂+1≥4．从而得解．

解答：解：（1）∵x≤f（x）≤

(x+1)2

4

∴当x=1时．1≤f（1）≤

(1+1)2

4

=1．
∴f（1）=1．
（2）由（1）知a+b+c=1，又f（-1）=0，∴a-b+c=0
从而

b= 1 2 a+c= 1 2

，又x∈R时，f（x）≥x恒成立．
即ax²+（b-1）x+c≥0，故

a＞0 △=(b-1)2-4ac≤0

∴ac≥

1

16

∴c＞0    而a+c=

1

2

≥ 2

ac

∴ac≤

1

16

∴ac=

1

16

∴a=c=

1

4

．∴f(x)=

1

4

x2+

1

2

x+

1

4

．
（3）∵

1

x1

+

1

x2

=2，x₁，x₂∈（0，+∞），
∴x₁+x₂=2x₁x₂
∴x1+x2≥2

x1x2

  （当且仅当x₁=x₂=1时取等号）
∴2x1x2≥2

x1x2

 
∴x₁x₂≥1．
又（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=3x₁x₂+1≥4．
∴f（x₁）•f（x₂）=

(x1+1)2

4

•

(x2+1)2

4

≥ 1 （当且仅当x₁=x₂=1时取等号）

点评：本题以二次函数为载体，考查赋值法，考查恒成立问题，同时考查不等式的证明，关键是利用基本不等式求解．