Question

数列{a_n}中，an+1=

an2

2an-2

，n∈N^*．
（I）若a1=

9

4

，设bn=log

1

3

an-2

an

，求证数列{b_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（II）若a₁＞2，n≥2，n∈N，用数学归纳法证明：2＜an＜2+

a1-2

2n-1

．

Answer 1

（I）证明：
∵bn+1=log

1

3

an+1-2

an+1

=log

1

3

a 2n 2an-2 -2

a 2n 2an-2

=log

1

3

(

an-2

an

)2=2log

1

3

(

an-2

an

)=2bn，
（2分）
∵b1=log

1

3

a1-2

a1

=2，∴数列{b_n}是首项为2，公比为2的等比数列，（4分）

∴b_n=2ⁿ，即log

1

3

an-2

an

=2n，得

an-2

an

=(

1

3

)2n，所以an=

2

1-( 1 3 )2n

．（6分）
（II）证明：（i）当n=2时，∵a₁＞2，
∴a2-2=

a 21

2a1-2

-2=

(a1-2)2

2a1-2

＞0，
∴a2-2-

a1-2

2

=

(a1-2)2

2a1-2

-

a1-2

2

=

2-a1

2(a1-1)

＜0，
∴2＜a2＜2+

a1-2

21

，不等式成立；（8分）
（ii）假设当n=k（k≥2）时，2＜ak＜2+

a1-2

2k-1

成立，
那么，当n=k+1时，去证明2＜ak+1＜2+

a1-2

2k

∵ak+1-2=

ak

2ak-2

-2=

(ak-2)2

2(ak-1)

＞0，
∴a_k+1＞2；
∵ak+1-2-

a1-2

2k

=

(ak-2)2

2(ak-1)

-

a1-2

2k

＜

(ak-2)2

2(ak-2)

-

a1-2

2k

=

ak-2

2

-

a1-2

2k

，

ak-2

2

-

a1-2

2k

＜

2+ a1-2 2k-1 -2

2

-

a1-2

2k

=0
∴ak+1＜2+

a1-2

2k

；
∴2＜ak+1＜2+

a1-2

2k

，
所以n=k+1不等式也成立，
由（i）（ii）可知，不等式成立．（12分）