Question

已知函数f(x)=x+

a

x

(a∈R)，g(x)=lnx，若关于x的方程

g(x)

x2

=f(x)-2e（e为自然对数的底数）只有一个实数根，求a的值．

Answer 1

分析：把方程化为

lnx

x

=x2-2ex+a，求得 h（x）=

lnx

x

的最大值为 h(e)=

1

e

．再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根据 a-e2=

1

e

求出a的值．

解答：解：关于x的方程

g(x)

x2

=f(x)-2e，可化为

lnx

x

=x2-2ex+a，
令h(x)=

lnx

x

，令h'（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值为 h(e)=

1

e

．  
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e时，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e2=

1

e

 可得 a=e2+

1

e

．

点评：本题主要考查导数的运算法则的应用，利用导数求函数的最值，体现了转化的数学思想，属于基础题．