Question

设定义在D上的两个函数f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4个命题：
①若a＞d，则对任意x₁、x₂∈D，f（x₁）＞g（x₂）恒成立；②若存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，则必有a＞d；③若对任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立，则必有a＞d；④若a＞d，则对任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立．其中正确的命题是

 

（请写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析：①若a＞d，则对任意x₁、x₂∈D，则有f（x）的函数值都比g（x）的函数值大，②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，举反例，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，③举反例f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]④同①，

解答：解：①若a＞d，则对任意x₁、x₂∈D，则有f（x）的函数值都比g（x）的函数值大，即f（x₁）＞g（x₂）恒成立，①正确
②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，且f（x₁）=3，g（x₂）=2，此时a＜d．②错误
③f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]此时f（x）＞g（x）恒成立，但[a，b]=[

π

4

，

π

3

]，[c，d]=[

2

2

，

3

2

]
而a=

π

4

＜

3

2

=d，③错误
④同①，故④正确
故答案为：①④

点评：本题主要考查了抽象函数的定义域与值域的判定，要求考生熟练掌握常见的基本初等函数的性质，并能进行一定的推理、论证．