Question

8．设f（x）在区间[a，b]上连续，证明：${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=${∫}_{a}^{b}$f（a+b-x）dx．

Answer 1

分析 令t=a+b-a，则dt=-dx，当x=a时，t=b；当x=b时，t=a，所以，在换元前后积分区间由[a，b]变成[b，a]．

解答 证明：令t=a+b-a，则dt=-dx，
当x=a时，t=b；当x=b时，t=a，
所以，在换元前后积分区间由[a，b]变成[b，a]，
右边=${∫}_{a}^{b}$f（a+b-x）dx
=-${∫}_{b}^{a}$f（t）dt=${∫}_{a}^{b}$f（t）dt
=${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=左边．
即${∫}_{a}^{b}$f（x）dx=${∫}_{a}^{b}$f（a+b-x）dx．

点评 本题主要考查了定积分的运算，以及运用换元法证明定积分恒等式，属于中档题．