Question

图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2．
（Ⅰ）求四棱锥B-CEPD的体积；
（Ⅱ）求证：BE∥平面PDA．

Answer 1

分析：（I）根据面面垂直的判定定理，得平面PDCE⊥平面ABCD．结合BC⊥CD，得BC⊥平面PDCE，所以BC是四棱锥B-CEPD的高，计算出梯形PDCE的面积，再结合锥体体积公式，可得四棱锥B-CEPD的体积；
（II）利用线面平行的判定定理，证出EC∥平面PDA且BC∥平面平面PDA，从而得到平面BEC∥平面PDA，结合BE⊆平面EBC，得BE∥平面PDA．

解答：解：（Ⅰ）∵PD⊥平面ABCD，PD⊆平面PDCE
∴平面PDCE⊥平面ABCD
∵平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC⊥CD
∴BC⊥平面PDCE                         …（6分）
∵S_梯形PDCE=

1

2

（PD+EC）×DC=

1

2

×3×2=3
∴四棱锥B-CEPD的体积为V_B-CEPD=

1

3

S_梯形PDCE×BC=

1

3

×3×2=2．…（8分）
（Ⅱ）∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA，
∴EC∥平面PDA，同理可得：BC∥平面平面PDA，
∵EC⊆平面EBC，BC⊆平面EBC，且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA
又∵BE⊆平面EBC，
∴BE∥平面PDA                       …（12分）

点评：本题给出四棱锥与三棱锥组合成一个几何体，求锥体体积并证明线面平行，着重考查了面面垂直的判定与性质、面面平行的判定与性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．