Question

如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=2EC，
（1）求证：BE∥平面PDA；
（2）若N为线段PB的中点，求证：EN⊥平面PDB；
（3）若

PD

AD

=

2

，求平面PBE与平面ABCD所成的二面角的大小．

Answer 1

分析：（1）由EC∥PD，根据线面平行的判定得：EC∥平面PDA，同时有BC∥平面PDA，再由面面平行的判定得平面BEC∥平面PDA，最后转化为线面平行．
（2）因为以D出发的三条线两两垂直，所以可以建立如图空间直角坐标系，利用向量法只要证明

EN

•

PB

=

1

2

×1-

1

2

×1-a×0=0，

EN

•

DB

=

1

2

×1-

1

2

×1+0×0=0即可．
（3）分别求得二个半平面的一个法向量即可，易知

DN

为平面PBE的法向量，

DP

为平面ABCD的法向量，分别求得其坐标，再用夹角公式求解即可．

解答：解：（1）证明：∵EC∥PD，PD?平面PDA，EC?平面PDA
∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA（2分）
∵EC?平面EBC，BC?平面EBC且EC∩BC=C
∴平面BEC∥平面PDA（3分）
又∵BE?平面EBC
∴BE∥平面PDA（4分）

（2）如图以点D为坐标原点，以AD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如图示：
设该简单组合体的底面边长为1，PD=a
则B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，a），E(0，1，

a

2

)，N(

1

2

，

1

2

，

a

2

)（6分）
∴

EN

=(

1

2

，-

1

2

，0)，

PB

=(1，1，-a)，

DB

=(1，1，0)
∵

EN

•

PB

=

1

2

×1-

1

2

×1-a×0=0，

EN

•

DB

=

1

2

×1-

1

2

×1+0×0=0
∴EN⊥PB，EN⊥DB（8分）
∵PB、DB?面PDB，且PB∩DB=B
∴NE⊥面PDB（9分）

（3）连接DN，由（2）知NE⊥面PDB∴DN⊥NE，
∵

PD

AD

=

2

，DB=

2

AD
∴PD=DB∴DN⊥PB
∴

DN

为平面PBE的法向量，设AD=1，则N(

1

2

，

1

2

，

2

2

)
∴

DN

=(

1

2

，

1

2

，

2

2

)（11分）
∵

DP

为平面ABCD的法向量，

DP

=(0，0，

2

)，（12分）
设平面PBE与平面ABCD所成的二面角为θ，
则cosθ=

DN • DP

| DN |•| DP |

=

1

2

=

2

2

（13分）
∴θ=45°即平面PBE与平面ABCD所成的二面角为45°（4分）

点评：本题主要考查线线，线面，面面平行关系的转化，以及线面垂直，二面角的向量方法证明与求值，综合性较强，要求很熟练，属高档题．