Question

给定椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为

a2+b2

的圆是椭圆C的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为F₂（

2

，0），其短轴上的一个端点到F₂距离为

3

．
（1）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（2）若过点P（0，m）（m＜0）的直线与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，求m的值；
（3）过椭圆C的“伴椭圆”上一动点Q作直线l₁，l₂，使得l₁，l₂与椭圆C都只有一个公共点，当直线l₁，l₂都有斜率时，试判断直线l₁，l₂的斜率之积是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；
（2）利用点到直线的距离公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直线与椭圆相切的性质即可得出；
（3）利用（2）的结论及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．

解答：解：（1）由题意可知：c=

2

，a=

3

，∴b²=a²-c²=1．
∴椭圆方程为：

x2

3

+y2=1，

a2+b2

=2；
∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x²+y²=4．
（2）设直线方程为：y=kx+m
∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2

2

，
∴圆心到直线的距离d=

|m|

1+k2

，
∵d2+(

2

)2=r2，∴d²=2，∴m²=2（1+k²）．（*）
又

x2+3y2=3 y=kx+m

得（1+3k²）x²+6mkx+3m²-3=0，
∵直线l与椭圆相切，
∴△=1+3k²-m²=0，
把（*）代入上式得m²=4，∵m＜0，解得m=-2．
∴m=-2．
（3）设Q（x₀，y₀），直线y-y₀=k（x-x₀），
由（2）可知1+3k2-m2=1+3k2-(y0-kx0)2=0，
即(3-

x

2 0

)k2+2y0x0k+1-

y

2 0

=0，∴k1k2=

1- y 2 0

3- x 2 0

，
又∵Q（x₀，y₀）在“伴椭圆”上，∴

x

2 0

+

y

2 0

=4，∴3-

x

2 0

=

y

2 0

-1．
∴k₁k₂=-1为定值．

点评：熟练掌握椭圆标准方程及其a、b、c的关系、点到直线的距离公式、d2+(

1

2

l)2=r2、及直线与椭圆相切的性质、“伴椭圆”的定义是解题的关键．