Question

已知集合A={a₁，a₂，…，a_n}中的元素都是正整数，且a₁＜a₂＜…＜a_n，对任意的x，y∈A，且x≠y，都有．
（1）求证：；（提示：可先求证（i=1，2，…，n-1），然后再完成所要证的结论．）
（2）求证：n≤11；
（3）对于n=11，试给出一个满足条件的集合A．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意有（i=1，2，…，n-1），由此能够推导出．
（2）由，a₁≥1，得，导出n＜37．由此能够推导出，从而能够证明n≤11．
（3）由，，，，，，设a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，由此能够推导出满足条件的一个集合A．
解答：证明：（1）依题意有（i=1，2，…，n-1），
又a₁＜a₂＜…＜a_n，
∴，
∴（i=1，2，…，n-1）．…（2分）
∴，
故．…（4分）
（2）由（1）得，
又由a₁≥1，得，因此n＜37．…（5分）
同理，，知．又a_i≥i，得．…（7分）
∴i（n-i）＜36（i=1，2，…，n-1）都成立．…（8分）
当n≥12时，取i=6，则i（n-i）=6（n-6）≥36，与i（n-i）＜36不符，
∴n＜12．…（9分）
又当n≤11时，，符合题意，
∴n≤11．…（10分）
（3）由（1）可知，，
∵，，，，，
∴可设a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6．…（12分）
由，可得，取a₇=8；…（13分）
由，可得，取a₈=11；…（14分）
由，可得，取a₉=16；…（15分）
由，可得，取a₁₀=29；…（16分）
由，可得，取a₁₁=150；…（17分）
∴满足条件的一个集合A={1，2，3，4，5，6，8，11，16，29，150}（答案不唯一）．…（18分）
说明：也有同学在第（2）小题的证明过程中，
先逐一求得a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，a₆=6，a₇=8，a₈=11，a₉=16，a₁₀=29，a₁₁=150，
然后由，得，
∴a₁₂不存在，即n≤11．…（20分）
点评：本题考查不等式的证明，考查满足条件的集合的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．