题目内容
已知集合A={a1,a2,…,an},其中ai∈R(1≤i≤n,n>2),l(A)表示和ai+aj(1≤i<j≤n)中所有不同值的个数.
(Ⅰ)若集合A={2,4,8,16},则l(A)= ;
(Ⅱ)当n=108时,l(A)的最小值为 .
(Ⅰ)若集合A={2,4,8,16},则l(A)=
(Ⅱ)当n=108时,l(A)的最小值为
分析:(Ⅰ)根据定义结合题中所给的集合即可确定l(Q);
(Ⅱ)根据集合A的元素特点,求出求l(A)的最小值.
(Ⅱ)根据集合A的元素特点,求出求l(A)的最小值.
解答:解:(Ⅰ)由2+4=6,2+8=10,2+16=18,4+8=12,4+16=20,8+16=24,
得l(Q)=6.
(Ⅱ)不妨设a1<a2<a3<…<an,可得
a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,
故ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)≥2n-3.
事实上,设a1,a2,a3,…,an成等差数列,考虑ai+aj(1≤i<j≤n),
根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一个.
故对这样的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.
当n=108时,l(A)的最小值为213.
故答案为:(Ⅰ)6.(Ⅱ)213.
得l(Q)=6.
(Ⅱ)不妨设a1<a2<a3<…<an,可得
a1+a2<a1+a3<…<a1+an<a2+an<a3+an<…<an-1+an,
故ai+aj(1≤i<j≤n)中至少有2n-3个不同的数,即l(A)≥2n-3.
事实上,设a1,a2,a3,…,an成等差数列,考虑ai+aj(1≤i<j≤n),
根据等差数列的性质,当i+j≤n时,ai+aj=a1+ai+j-1;当i+j>n时,ai+aj=ai+j-n+an;
因此每个和ai+aj(1≤i<j≤n)等于a1+ak(2≤k≤n)中的一个,或者等于al+an(2≤l≤n-1)中的一个.
故对这样的集合A,l(A)=2n-3,所以l(A)的最小值为2n-3.
当n=108时,l(A)的最小值为213.
故答案为:(Ⅰ)6.(Ⅱ)213.
点评:本题主要考查集合与元素的关系,以及组合的有关知识,认真审题,正确的理解题意并且仔细解答是解题的关键点
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