Question

【题目】已知、是椭圆：的左右焦点，焦距为6，椭圆上存在点使得，且的面积为9.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）过的直线与椭圆相交于，两点，直线与轴不重合，是轴上一点，且，求点纵坐标的取值集合.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由已知列方程组，解出a，再由确定椭圆方程.

（Ⅱ）取MN的中点T，由，化为,即P为直线MN的垂直平分线与y轴的交点.先求MN斜率不存在时P的纵坐标；当MN斜率存在时设MN：，代入椭圆方程，利用韦达定理求MN的中点T的坐标，建立PT的方程，可求P的纵坐标与k的关系式，再利用基本不等式进行求解.

解：（Ⅰ）由题意得：

，

，

∴，

，

∴，又，∴，

∴的方程为.

（Ⅱ）设的坐标为，的中点为，

当的斜率存在时,则，的方程为.

由题意知：，

∴，

设，，

∴，

∴，∴，

∴，

∴，∴.

当时，，∴，

当时，，∴.

当的斜率不存在时，，

∴.

∴的纵坐标的取值集合为：.