Question

4．若函数f（x）=log_a（ax²-x）在$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上单调递增，则实数a的取值范围是（2，+∞）．

Answer 1

分析 由复合函数的单调性和二次函数的性质分类讨论可得．

解答 解：（1）当a＞1时，令t=ax²-x，
则由题意可得函数t在区间$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上单调递增，且t＞0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≤\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{4}a-\frac{1}{2}＞0}\end{array}\right.$，解得a＞2，
综合可得a＞2；
（2）当0＜a＜1时，则由题意可得函数t在区间$[\frac{1}{2}{，_{\;}}3]$上单调递减，且t＞0，
故有$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2a}≥3}\\{9a-3＞0}\end{array}\right.$，解得a∈∅，故此时满足条件的a不存在．
综合（1）（2）可得a＞2
故答案为：（2，+∞）

点评 本题考查对数函数的单调性，涉及分类讨论思想和二次函数的性质，属中档题．