Question

已知函数f（x）=（

3

sinωx+cosωx）cosωx-

1

2

（ω＞0）最小正周期为4π
（1）求f（x）的单调递增区间
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（2C）的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函数公式和辅助角公式化简得f（x）=sin（2ωx+

π

6

），由最小正周期为4π解出ω=

1

4

，从而得到函数f（x）的表达式，利用单调区间的公式解关于x的不等式即可得出f（x）的单调递增区间；
（2）利用正弦定理将（2a-c）cosB=bcosC化简，结合三角形内角和定理与正弦的诱导公式算出cosB=

1

2

，得B=

π

3

．从而得到f（2C）=sin（C+

π

6

）的定义域为（0，

2π

3

），利用正弦函数的图象与性质即可求出f（2C）的取值范围．

解答：解：（1）根据题意，可得
f（x）=（

3

sinωx+cosωx）cosωx-

1

2

=

3

sinωxcosωx+cos²ωx-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

（1+cos2ωx）-

1

2

=

3

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx=sin（2ωx+

π

6

）
∵ω＞0，f（x）的最小正周期为4π，
∴

2π

2ω

=4π，解之得ω=

1

4

，得f（x）=sin（

1

2

x+

π

6

）．
设-

π

2

+2kπ≤

1

2

x+

π

6

≤

π

2

+2kπ（k∈Z），可得-

4π

3

+4kπ≤x≤

4π

3

+4kπ（k∈Z）
∴f（x）的单调递增区间为[-

4π

3

+4kπ，

4π

3

+4kπ]（k∈Z）；
（2）∵（2a-c）cosB=bcosC，
∴根据正弦定理，得（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
即2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）
∵△ABC中，B+C=π-A，可得sin（B+C）=sin（π-A）=sinA＞0
∴上式化简为2sinAcosB=sinA，得2cosB=1，即cosB=

1

2

∵B是三角形的内角，∴B=

π

3

∵f（2C）=sin（C+

π

6

），C∈（0，

2π

3

）
∴当C=

π

3

时，f（2C）有最大值为1，而f（2C）的最小值大于sin（

2π

3

+

π

6

）=

1

2

因此，可得f（2C）的取值范围是（

1

2

，1]．

点评：本题着重考查了二倍角公式、辅助角公式、诱导公式、三角函数的图象与性质和正弦定理等知识，属于中档题．