Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AC=AA₁=4，∠ACB=

π

6

．
（Ⅰ）求直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧视图的面积；
（Ⅱ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）在线段A₁C上是否存在一点P，使PC₁与平面A₁BC所成的角的正弦值为

3

5

？如果存在，求出P点与C点的距离；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）由已知中AB=2，AC=AA₁=4，∠ACB=

π

6

．我们易求出OB的长，代入矩形面积公式，即可得到直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧视图的面积；
（Ⅱ）根据（I）中结论，AB⊥BC结合线面垂直的性质，可得A₁A⊥BC，由线面垂直的判定定理，得到A₁A⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理即可得到平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁；
（Ⅲ）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面A₁BC的法向量和直线PC₁的方向向量（含参数λ），根据PC₁与平面A₁BC所成的角的正弦值为

3

5

，求出λ值，进而代入点到平面的距离公式，求出答案．

解答：解：（Ⅰ）在平面ABC内，过B点作BO⊥AC，垂足为O．
△ABC中，由正弦定理得sin∠ABC=

AC•sin∠ACB

AB

=1…（2分）
∴∠ABC=90°，则OB=

3

．
∴直三棱柱ABC-A₁B₁C₁侧视图的面积为4

3

…（4分）
证明：（Ⅱ）∵∠ABC=90°即AB⊥BC
∵A₁A⊥平面ABC，
∴A₁A⊥BC…（6分）
又A₁A∩AB=A，
∴BC⊥平面A₁ABB₁
∵BC⊆平面A₁BC，
∴平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁…（8分）
解：（Ⅲ）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，-1，0)，B(

3

，0，0)，C(0，3，0)，A1(0，-1，4)，C1(0，3，4)，

CA1

=(0，-4，4)．
设

CP

=λ

CA1

=(0，-4λ，4λ)，则

PC1

=

CC1

-

CP

=(0，4λ，4-4λ)…（10分）
设平面A₁BC的法向量为

n

=(x，y，z)
由

BC • n =0 A1C • n=0

即

- 3 x+3y=0 4y-4z=0

，令y=1得x=

3

，z=1，
∴

n

=(

3

，1，1)
|cos?

PC1

，

n

＞|=

| PC1 • n |

| PC1 || n |

=

4

5 16λ2+(4-4λ)2

=

3

5

，
∴λ=

1

3

或λ=

2

3

则P点与C点的距离为

4

3

2

或

8

3

2

．             …（13分）

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，简单空间图形的三视图，平面与平面垂直的判定，其中（1）的关键是求出侧视图的长和宽，（2）的关键是证明出A₁A⊥平面ABC，（3）的关键是确定出P点的位置．