Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2且数列{a_n•a_n+1}是公比为2的等比数列，则数列{a_n}的前11项的和S₁₁=

125

．

Answer 1

分析：由条件判断出，数列{a_n}的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，再求出前11项的值，进而求出前11项的和S₁₁的值．

解答：解：∵数列{a_n•a_n+1}是公比为2的等比数列，a₁=1，a₂=2
∴a_n•a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ，即

anan+1

an-1 an

=

an+1

an-1

=

2n

2n-1

=2，
∴此数列的奇数项和偶数项分别是以2为公比的等比数列，
∴a₃=2，a₄=2²，a₅=2²，a₆=2³，a₇=2³，a₈=2⁴，a₉=2⁴，a₁₀=2⁵，a₁₁=2⁵，
∴S₁₁=1+2+2+2²+2²+2³+2³+2⁴+2⁴+2⁵+2⁵=125，
故答案为：125．

点评：本题考查了数列求和问题，一般先由给出的条件研究数列的规律性，再表示出数列的各项，进而再求出前n项的和．