Question

已知函数f（x）=e^xsinx．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）如果对于任意的x∈[0，]，f（x）≥kx总成立，求实数k的取值范围；
（3）设函数F（x）=f（x）+e^xcosx，x∈[，]．过点M（）作函数F（x）图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列{x_n}，求数列{x_n}的所有项之和S的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出函数的导函数，由导函数大于0求其增区间，导函数小于0求其减区间；
（2）构造辅助函数g（x）=f（x）-kx，把问题转化为求x∈时g（x）_min≥0，然后对k的值进行分类讨论，求k在不同取值范围内时的g（x）的最小值，由最小值大于等于0得到k的取值范围；
（3）把f（x）的解析式代入F（x）=f（x）+e^xcosx，求出函数F（x）的导函数，设出切点坐标，求出函数在切点处的导数，由点斜式写出切线方程，把M的坐标代入切线方程，得到关于切点横坐标的三角方程，利用函数图象交点分析得到切点的横坐标关于对称成对出现，最后由给出的自变量的范围得到数列{x_n}的所有项之和S的值．
解答：解：（1）由于f（x）=e^xsinx．所以
f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=．
当，即时，f′（x）＞0；
当，即时，f′（x）＜0．
所以f（x）的单调递增区间为（k∈Z），
单调递减区间为（k∈Z）．
（2）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，要使f（x）≥kx总成立，只需在x∈时g（x）_min≥0．
对g（x）求导得g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx），则h′（x）=2e^xcosx＞0，（）
所以h（x）在在上为增函数，所以．
对k分类讨论：
①当k≤1时，g′（x）≥0恒成立，所以g（x）在上为增函数，所以g（x）_min=g（0）=0，
即g（x）≥0恒成立；
②当时，g′（x）=0在上有实根x，因为h（x）在上为增函数，
所以当x∈（0，x）时，g′（x）＜0，所以g（x）＜g（0）=0，不符合题意；
③当时，g′（x）≤0恒成立，所以g（x）在上为减函数，
则g（x）＜g（0）=0，不符合题意．
综合①②③可得，所求的实数k的取值范围是（-∞，1]．
（3）因为F（x）=f（x）+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），所以F′（x）=2e^xcosx，
设切点坐标为，则斜率为，
切线方程为，
将的坐标代入切线方程，得

，即，
令y₁=tanx，，则这两个函数的图象均关于点对称，
它们交点的横坐标也关于对称成对出现，
方程x∈的根，
即所作的所有切线的切点横坐标构成的数列{x_n}的项也关于对称成对出现，
在内共构成1006对，每对的和为π，
因此数列{x_n}的所有项的和S=1006π．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了利用对称性求方程根的和的问题，综合考查了学生的计算能力，是具有较高难度的题目．