Question

【题目】已知⊙： 与⊙： ，以， 分别为左右焦点的椭圆： 经过两圆的交点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）， 分别为椭圆的左右顶点， ， ， 是椭圆上非顶点的三点，若∥， ∥，试问的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）的面积为定值3..

【解析】试题分析：（Ⅰ）依题意有，由椭圆定义知，解得点值，得出椭圆的方程；

（Ⅱ）由题可知， ，设， ，把直线的方程为与椭圆方程联立，利用根与系数的关系和韦达定理，即可求面积的定值.

试题解析：（Ⅰ）设两圆的交点为，依题意有，

由椭圆定义知，解得；

因为， 分别为椭圆的左右焦点，所以，解得，

所以椭圆的方程为；

（Ⅱ）解法一 由题可知， ，设，∵是椭圆上的点，

∴，即，∴，

∵∥， ∥，∴,

∵、、是椭圆上非顶点的三点，∴直线的斜率存在且不为零，

设直线的方程为， ， ，

由，得，

由，得 （*）

且， ，

∴，

∵，∴，整理得，

代入（*）得，

∵ ，

原点到直线的距离，∴（定值）.

综上所述， 的面积为定值3.（Ⅱ）解法二 同解法一可知，直线， 的斜率存在且不为零，且,……6分

设直线的方程为，则直线的方程为，设， ，

由得，用换可得，则，

因为，所以与异号，

∴（定值）.

综上所述， 的面积为定值3.