题目内容

已知各项均为正数的数列{a_n}满足： $数学公式$
（I）求a₁，a₂，a₃的值，猜测a_n的表达式并给予证明；
（II）求证： $数学公式$ ；
（III）设数列 $数学公式$ 的前n项和为 $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）a₁=2，a₂=3，a₃=4，猜测：a_n=n+1
下用数学归纳法
①当n=1时，a₁=1+1=2，猜想成立；
②假设当n=k（k≥1）时猜想成立，即a_k=k+1
由条件 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
两式相减得： $\text{[math]}$
则当n=k+1时， $\text{[math]}$ ∴a_k+1=k+2即当n=k+1时，猜想也成立
故对一切的n∈N^*，a_n=n+1成立
（Ⅱ）设 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$
由y=cosx的单调性知f（x）在 $\text{[math]}$ 内有且只有一个极大值点，
且 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
即 $\text{[math]}$ ．
令 $\text{[math]}$ 时有 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$
又当 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$
（Ⅲ）∵a_na_n+1≥6，∴ $\text{[math]}$
由（Ⅱ）可知 $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
即对一切 $\text{[math]}$ ．
又∵ $\text{[math]}$ ∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
即对一切 $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）令n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，然后仔细观察，总结规律，猜想：a_n=n+1（n∈N^*），再用用数字归纳法证明．
（Ⅱ）构造函数 $\text{[math]}$ ，求导，利用y=cosx的单调性知f（x）在 $\text{[math]}$ 内有且只有一个极大值点，从而可证；
（III）由 $\text{[math]}$ ，结合 $\text{[math]}$ ，利用裂项求和 $\text{[math]}$ ，可得对一切 $\text{[math]}$ ．利用 $\text{[math]}$ ，可证右边．
点评：本题主要考查数列与不等式的综合，考查放缩法的思想的运用．综合性强