Question

（理科）E、F是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，∠EPF的最大值是   （　　）

A．60°

B．30°

C．90°

D．45°

Answer 1

分析：根据椭圆的标准方程，确定E，F的坐标，准线方程，从而假设点P的坐标，求出相应直线的斜率，利用差角的正切公式，借助于基本不等式，即可求∠EPF的最大值．

解答：解：由题意，椭圆中a²=4，b²=2，∴c²=2
∵E、F是椭圆

x2

4

+

y2

2

=1的左、右焦点，
∴E(-

2

，0)，F(

2

，0)，
不妨取l是椭圆的右准线，则方程为：x=

a2

c

=

4

2

=2

2

点P在l上，不妨取P(2

2

，y)(y＞0)
设直线PE的倾斜角为β，直线PF的倾斜角为α，则∠EPF=α-β
∵tanα=

y

2

，tanβ=

y

3 2

∴tan(α-β)=

tanα-tanβ

1+tanαtanβ

=

2 2 y

6+y2

=

2 2

6 y +y

∵y＞0
∴

6

y

+y≥2

6

∴tan(α-β)≤

2 2

2 6

=

3

3

∵正切函数在(0，

π

2

)上单调增，tan30°=

3

3

∴α-β的最大值为30°，
即∠EPF的最大值是30°
故答案为：30°

点评：本题以椭圆方程为载体，考查椭圆的几何性质，考查直线的斜率，考查基本不等式的运用，综合性强．