Question

已知函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的图象经过（0，1），且f(

3

)=2-

3

．
（1）求f（x）的值域；
（2）设命题p，f（m²-m）＜f（3m-4），命题q：函数g(x)=

1

3

x3+

m

2

x2+mx+1在R上无极值，是否存在实数m满足复合命题p∧q为真命题？若存在，求出m的范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的图象经过（0，1），且f(

3

)=2-

3

，确定函数的解析式，根据函数的单调性，可求函数的值域；
（2）分别求出p，q为真时，m的范围，利用p∧q为真命题，即可求得结论．

解答：解：（1）∵函数f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)的图象经过（0，1），且f(

3

)=2-

3

，
∴b=1，

3

a+2b=2-

3

，∴b=1，a=-1
∴f(x)=-x+

1+x2

(x≥0)
∵f（x）=

1

x+ 1+x2

在[0，+∞）上单调递减，∴f（x）≤f（0）=1
∴f（x）的值域是（-∞，1]；
（2）命题p：f（m²-m）＜f（3m-4）为真，等价于m²-m＞3m-4≥0，∴m≥

4

3

且m≠2
命题q：函数g(x)=

1

3

x3+

m

2

x2+mx+1在R上无极值为真，等价于函数单调增，
∵g′（x）=x²+mx+m，∴x²+mx+m≥0在R恒成立，∴△=m²-4m≤0，∴0≤m≤4
∵p∧q为真命题
∴

4

3

≤m≤4且m≠2．

点评：本题考查函数的单调性与值域，考查导数知识的运用，考查复合命题，综合性强．